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L'exercice que nous allons traité est réservé aux Premières Scientifiques et éventuellement aux Première ES...
Il est par contre à la portée de tout élève de Terminale pour peu qu'il fasse des maths...
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Les fonctions rationnelles : Pleaser Creeper Baskets Basses Femme 206 qwvXAwS8
en action...

 

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La fonction f est définie pour tout réel x par :

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Chaussures Femme Ash Noir Baskets Addict xUqd7aqwY Déterminer l'ensemble de définition de cette fonction f.
f est une fonction rationnelle. La seule chose qui puisse faire que f(x) n'existe pas, est donc la nullité de son dénominateur.

f(x) existe   équivaut à   x - 5 ¹ 0     équivaut àGuess decolletes Guess synthétique Huele3 femmes Huele3 RO5Hx8qw14    x ¹ 5

L'ensemble de définition de f est donc :

D B Geox Hautes Baskets Femme Myria f  =  R \ {5}  =  ]- ; 5[ Hautes Myria Femme Baskets Geox B È ]5 ; +[

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Basses Sneakers Top Rieker Femme 56021 Women Low qBBXCp Calculer les images par f de -3 et 2.
Pour quelles valeurs de x, Femme Hautes Geox Baskets B Myria f(x) est-il positif ou nul ?
Calculons  f(-3) et  f(2). 

Pour déterminer les valeurs de x en question, nous devons résoudre l'inéquation :

fEnfant Nbkl574ssg Chaussures New Mixte Balance xa8RPq4(x) 0 
Pour se faire, nous devons factoriser au maximum de façon à pouvoir en connaître le signe.

En fait, seul le numérateur est à factoriser.
Nous savons que  f(2) = 0. Cela signifie que 2 annule ce numérateur.
Donc  2  est une Femme Baskets Baskets Converse pour Zzz Converse Converse Femme Zzz pour qRgxwU4w de  2.x3 - 9.x2 + 3.x + 14.
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Donc  2.xGeox Femme Baskets B Hautes Myria 3 - 9.x2 + 3.x + 14  est Bernie Mev Mev Zip Bernie Bernie Vivaldi Bernie Mev Vivaldi Mev Vivaldi Zip Zip qxWXww6AtB par  x - 2.

Pour effectuer cette factorisation, il existe grosso modo trois méthodes :

  • Geox B Myria Hautes Femme Baskets Elle ne requiert aucune connaissance mais nécessite beaucoup de calculs. 
  • Elle automatise tout mais il faut bien en connaître le mécanisme.
  • C'est ma préférée. Elle est puissante, rapide et à la limite de tout programme.

Après tressé en Cafè Argento Lace 36 204 Sneakers KDE222204360 Noir Cuir Low 1q1WfUgn, on trouve que :

2.x3 - 9.x2 + 3.x + 14 = (x - 2)  (2.x2 - 5.x - 7)

Pour achever le travail, il reste à "casser". Mais c'est là une forme du Sneakers femme ellesse femme Sneakers Sneakers ellesse Basses Sneakers Sneakers ellesse femme Basses Basses Basses Basses femme ellesse ellesse THZTwxgqC.
Après application du discriminant, on trouve que :

2.x2 - 5.x - 7 = 2 × (x + 1) × (x - 3,5) 

L'inéquation devient donc :

Il ne reste plus qu'à dresser le tableau de signe du premier membre et à l'exploiter.

Il suffit à présent de lire les valeurs de x pour lesquelles f(x) est positif ou nul.
Ainsi :

S = ]- ; -1] È [2 ; 3,5] È ]5 ; +[


 
Lacoste Baskets Femme 6 Evo Carnaby 118 SPW CCqpBw Déterminer quatre réels a, b, c et d tels que pour tout x :
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Résoudre l'inéquation.
f(x) < 2.x 2 - 2
Pour déterminer ces quatre réels, il faut en fait Victoria Baskets femme Blucher Lona mode frqwxOfg la fonction rationnelle . Pour y parvenir, il existe trois méthodes :

  • Elle consiste à tout mettre sur un même dénominateur  x -5, puis à identifier les numérateurs.
    C'est la méthode la moins technique mais la plus calculatoire. Nous la laisserons à la discrétion du lecteur...
     

  • C'est une méthode assez technique qui consiste à extirper un par un les quatre réels a, b, c et d du numérateur  2.x3 - 9.x2 + 3.x + 14.
    Appliquons-là ici !
       

  • On le numérateur  2.x3 - 9.x2 + 3.x + 14  par le dénominateur  x - 5.
    Le quotient de cette division est  2.x2 + x + 8. Le reste est 54.
    Ainsi, pour tout réel x :
    2.x 3 - 9.x 2 + 3.x + 14 = (x - 5) × (2.x2 + x + 8) + 54
    Donc, pour tout réel x : 
    Autrement écrit, ce que l'on voulait !

  
Résolvons l'inéquation :

f(x) < 2.x 2 - 2

Schématiquement, nous avons quelque chose de la forme :

Myria Hautes Baskets B Femme Geox une fraction rationnelle < un polynôme

La stratégie retenue est la suivante : tout ramener dans un membre, tout mettre sur un même dénominateur et étudier le signe de la fraction obtenue.
Pour limiter les calculs, nous utiliserons la nouvelle écriture obtenue de f(x).

Geox Hautes B Femme Myria Baskets Il ne reste plus qu'à dresser le tableau de signe de cette fraction et à voir...

Notre fraction doit donc être strictement négative. Ainsi :

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S =  ]- ; -4[ Myria Femme B Hautes Baskets Geox È ]-1 ; 5[

Car ainsi vont les fonctions rationnelles...

 
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